Olimpiadas de Matemáticas
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Solución. Escribamos $n$ en base $3$ con dígitos $a_k,a_{k-1},\ldots,a_2,a_1,a_0\in\{0,1,2\}$, siendo $a_0$ el de orden menor. Esto quiere decir que \[n=3^ka_k+3^{k-1}a_{k-1}+\ldots+3^2a_2+3a_1+a_0.\] Es inmediato entonces ver que \[\left\lfloor\frac{n}{3}\right\rfloor=3^{k-1}a_k+3^{k-2}a_{k-1}+\ldots+3a_2+a_1,\qquad 3\left\{\frac{n}{3}\right\}=a_0.\] Por tanto, cada vez que aplicamos $f$ eliminamos el dígito de la izquierda y sale sumando o restando dependiendo de en qué posición esté: \begin{align*} f(n)&=-f(3^{k-1}a_k+3^{k-2}a_{k-1}+\ldots+3a_2+a_1)-a_0\\ &=f(3^{k-2}a_k+3^{k-3}a_{k-1}+\ldots+a_2)+a_1-a_0\\ &=-f(3^{k-3}a_k+3^{k-4}a_{k-1}+\ldots+a_3)-a_2+a_1-a_0\\ &=\ldots=(-1)^{k+1}a_k+\ldots+a_3-a_2+a_1-a_0. \end{align*} Aunque está claro el proceso por el que hemos obtenido la fórmula anterior, también se puede formalizar fácilmente por inducción sobre $k$, el número de dígitos. El mínimo $n$ tal que $f(n)=2010$ se obtendrá minimizando los dígitos pares y maximizando los impares, es decir, tomando $a_{2j}=0$ y $a_{2j-1}=2$ de forma que haya $1005$ dígitos iguales a $2$. Esto nos da el número \begin{align*} n=202020\ldots 20_{(3)}&=666\ldots 6_{(9)}=6(1+9+\ldots+9^{1004})\\ &=6\frac{9^{1005}-1}{9-1}=\frac{3}{4}(9^{1005}-1). \end{align*}