Olimpiadas de Matemáticas
Página de preparación y problemas

Sea $ABCD$ un cuadrilátero convexo y sea $P$ la intersección de sus diagonales $AC$ y $BD$ y supongamos que cumple $\angle APD=60^\circ$. Sean $E,F,G,H$ los puntos medios de los lados $AB,BC,CD,DA$, respectivamente. Hallar el mayor número real positivo $k$ tal que \[EG+3HF\geq kd+(1-k)s,\] siendo $s$ el semiperímetro de $ABCD$ y $d$ la suma de las longitudes de las diagonales.