Olimpiadas de Matemáticas
Página de preparación y problemas

Solución. Llamemos $x,y,z$ a los denominadores, de forma que \[\left\{\begin{array}3 a + 3 b + 2 c=x\\3 a + 2 b + 3 c=y\\2 a + 3 b + 3 c=z\end{array}\right.\] Este sistema de ecuaciones lineales es compatible determinado y nos da la solución \[\left\{\begin{array}a=\frac{3x+3y-5z}{8}\\b=\frac{3x-5y+3z}{8}\\c=\frac{-5x+3y+3z}{8}\end{array}\right.\] lo que nos lleva a que los numeradores se transforman en \[a+b+3c=\frac{-9x+7y+7z}{8},\qquad a+3b+c=\frac{7x-9y+7z}{8},\qquad a+b+3c=\frac{7x+7y-9z}{8}.\] Por lo tanto, el miembro de la izquierda de la desigualdad original se reescribe como \begin{align*}\frac{-9x+7y+7z}{8x}&+\frac{7x-9y+7z}{8y}+\frac{7x+7y-9z}{8z} &=\frac{-27}{8}+\frac{7}{8}\left(\frac{x}{y}+\frac{y}{x}+\frac{y}{z}+\frac{z}{y}+\frac{z}{x}+\frac{x}{z}\right)\\ \geq\frac{-27}{8}+\frac{7}{8}(2+2+2)=\frac{15}{8}, \end{align*} donde hemos usado que la suma de un número positivo y su inverso es mayor o igual que $2$. Observamos que $x$, $y$ y $z$ son positivos a partir de su definición ya que $a$, $b$ y $c$ lo son.

Nota. La igualdad se alcanza cuando $x=y=z$, lo que se traduce claramente en que $a=b=c$.