Olimpiadas de Matemáticas
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Solución. Usando que $(n+1)(n-1)=n^2-1\lt n^2$, el crecimiento de $f$ y la condición del enunciado, podemos escribir \[f(n-1)+f(n+1)=f(n^2-1)\leq f(n^2)=2f(n).\] Esta condición, se puede reescribir como \[f(n+1)-f(n)\leq f(n)-f(n-1),\qquad\text{para todo }n\in\mathbb{N}.\] Por tanto, la diferencia entre dos términos consecutivos es positiva y decreciente. Debe llegar un momento en que esta diferencia sea una constante $a\geq 0$, momento a partir del cual la función se comporte como una progresión aritmética. Más rigurosamente, existe $n_0\gt 1$ tal que $f(n)=an+b$ para todo $n\geq n_0$, siendo $a,b\in\mathbb{Z}$ y $a\geq 0$.

Tomando $m,n\geq n_0$, se tiene que $mn\geq n_0$, luego \[amn+b=f(mn)=f(n)+f(m)=a(m+n)+2b.\] Como esta igualdad se cumple para infinitos valores de $m$ y $n$, tiene que ser $a=b=0$, es decir $f(n)=0$ para todo $n\geq n_0$. El problema ya está casi listo porque, por un lado, $f(1)=f(1\cdot 1)=f(1)+f(1)$ nos dice que $f(1)=0$ y, por otro lado, $f(2^r)=rf(2)$ tiene que ser cero para $r$ suficientemente grande tal que $2^r\gt n_0$, luego $f(2)$. Al ser $f(2)-f(1)=0$, tenemos que $f(n+1)=f(n)$ para todo $n\in\mathbb{N}$ y, por tanto, $f$ es la función constante $0$ (se comprueba trivialmente que cumple las condiciones del enunciado).