Olimpiadas de Matemáticas
Página de preparación y problemas

Solución. Supongamos que $\sqrt{n_1}+\sqrt[3]{n_2}$ es un racional $\frac{p}{q}$ y probaremos que debe ser entero. Para ello, despejamos la raíz cúbica y elevamos al cubo para eliminarla, esto es, \[\sqrt[3]{n_2}=\frac{p}{q}-\sqrt{n_1}\ \Longleftrightarrow\ n_2=\frac{p^3}{q^3}-3\frac{p^2}{q^2}\sqrt{n_1}+3\frac{p}{q}n_1-n_1\sqrt{n_1}.\] Agrupando los términos con raíz, llegamos a que \[n_2=\left(\frac{p^3}{q^3}+3\frac{p}{q}n_1\right)-\left(n_1+3\frac{p^2}{q^2}\right)\sqrt{n_1}\ \Longleftrightarrow\ \sqrt{n_1}=\frac{n_2-\frac{p^3}{q^3}-3\frac{p}{q}n_1}{n_1+3\frac{p^2}{q^2}}.\] Observemos que el denominador es un número positivo (no puede ser cero). Por lo tanto, $\sqrt{n_1}$ es un número racional, lo que nos dice que $n_1$ ha de ser un cuadrado perfecto (ver la nota). De esta manera, $\sqrt[3]{n_2}=\frac{p}{q}-\sqrt{n_1}$ también es racional, luego $n_2$ ha de ser un cubo perfecto (ver la nota) y $\sqrt[3]{n_1}+\sqrt{n_2}$ es entero.

Nota. Hemos usado el hecho muy conocido de que si $a$ y $n$ son números naturales y $\sqrt[n]{a}$ es racional, entonces $a$ es la potencia $n$-ésima de un entero. Esto se demuestra fácilmente escribiendo $\sqrt[n]{a}=\frac{r}{s}$ equivalentemente como $s^na=r^n$. Si ahora miramos en esta última ecuación el exponente de cualquier primo, el exponente en $a$ tiene que ser múltiplo de $n$.