Olimpiadas de Matemáticas
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Solución. Consideramos la división del hexágono en 6 triángulos equiláteros de lado 1 indicada con líneas verdes en la figura y luego subdividimos cada triángulo en tres cometas uniendo su centro con los puntos medios de los tres lados, como se ha indicado con línea naranja. Esto nos da un total de 18 regiones y, por el principio del palomar, al menos 2 de los 19 puntos deben caer en una de ellas. Ahora bien, todas las regiones son congruentes entre sí y los puntos más distantes dentro de cada una de ellas son el centro y el vértice del triángulo equilátero en el que está contenida (véase la nota). Dicha distancia máxima es $\frac{2}{3}$ de la altura del triángulo, es decir, $\frac{2}{3}\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{\sqrt{3}}{3}$.