Olimpiadas de Matemáticas
Página de preparación y problemas

Solución. Supongamos que $a\mid b+c$, $b\mid a+c$ y $c\mid a+b$. Si $p$ es un primo que divide a $a$ y $b$, entonces divide a $b+c$ luego también divide a $c$. Este razonamiento nos dice que, si ningún primo divide a los tres, entonces tampoco puede dividir a dos, es decir, $a$, $b$ y $c$ son primos relativos dos a dos. Además, tenemos que $a$, $b$ y $c$ dividen a $a+b+c$, luego $abc$ divide a $a+b+c$ (por ser primos relativos). En partiular, se tiene que $abc\leq a+b+c\leq 3c$, con lo que $ab\leq 3$. Esto nos deja muy pocas posibilidades para el par $(a,b)$:

• Si $a=b=1$, las dos primeras condiciones $a\mid b+c$ y $b\mid a+c$ se cumplen siempre y la tercera $c\mid a+b=2$ nos dice que $c=1$ o $c=2$, luego tenemos las soluciones $(1,1,1)$ y $(1,1,2)$.
• Si $a=1$ y $b=2$, tenemos que $c\mid a+b=3$, luego $c=3$ ya que debe ser $b\geq c$. Se comprueba que $(1,2,3)$ también es solución.
• Si $a=1$ y $b=3$, entonces $c\mid a+b=4$ nos dice que $c=4$ para que sea $b\leq c$, pero no se cumple que $b\mid a+c$, luego no hay soluciones en este caso.

Deducimos así que la terna $(a,b,c)$ es $(1,1,1)$, $(1,1,2)$ o $(1,2,3)$.