Olimpiadas de Matemáticas
Página de preparación y problemas

Solución. Escribamos por comodidad $a=2^x$, $b=2^y$ y $c=2^z$, con lo que el sistema nos queda como sigue, donde además despejamos en cada ecuación: \[\left\{\begin{array}{l} 3b-1=a+\frac{1}{a}\\ 3c-1=b+\frac{1}{b}\\ 3a-1=c+\frac{1}{c} \end{array}\right\}\ \Longleftrightarrow\  \left\{\begin{array}{l} b=\frac{1}{3}+\frac{1}{3}\left(a+\frac{1}{a}\right)\\ c=\frac{1}{3}+\frac{1}{3}\left(b+\frac{1}{b}\right)\\ a=\frac{1}{3}+\frac{1}{3}\left(c+\frac{1}{c}\right) \end{array}\right\}.\] Por tanto, consideraremos la siguiente función \[f(t)=\frac{1}{3}+\frac{1}{3}\left(t+\frac{1}{t}\right)\] definida en los reales positivos, y nos preguntamos si pueden existir $a,b,c\gt 0$ tales que $b=f(a)$, $c=f(b)$ y $a=f(c)$. En otras palabras, empezando por $a$ y aplicando tres veces $f$, queremos ver si podemos volver al punto $a$. Dos observaciones previas:

• Se cumple que $f(t)=\frac{1}{3}+\frac{1}{3}\left(t+\frac{1}{t}\right)\geq\frac{1}{3}+\frac{2}{3}=1$ para todo $t\gt 0$ ya que la suma de un número positivo y su inverso es mayor o igual que $2$. La igualdad se da si y sólo si $t=1$.
• La ecuación $f(t)=t$ equivale a $2t^2-t-1=0$, que tiene soluciones $t=1$ y $t=\frac{-1}{2}$, de las cuales sólo nos quedamos con $t=1$ ya que estamos trabajando con reales positivos. De aquí se deduce también fácilmente. que $f(t)\lt t$ para $t>1$.

Por lo tanto, no puede ser $0\lt a\lt 1$ ya que entonces tendríamos $a=f(c)\geq 1$. Tampoco puede ser $a\gt 1$ ya que entonces tendríamos que $a=f(c)\lt c=f(b)\lt b=f(a)\lt a$, que es un absurdo. Sólo nos queda la posibilidad $a=1$, que nos lleva a que $b=f(a)=1$ y $c=f(b)=1$. Deshaciendo el cambio inicial, obtenemos la única solución al sistema $x=y=z=0$.

Nota. El método de iterar una función y estudiar si podemos volver al mismo valor es muy estándar y conviene tenerlo en cuenta para muchos problemas de olimpiada. Esencialmente, tenemos que estudiar los puntos fijos de la función y si es mayor o menor que la identidad en los distintos intervalos para saber si la iteración hace crecer o decrecer los valores en determinados intervalos.