Olimpiadas de Matemáticas
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Solución. Las proporciones que nos dan nos dicen claramente que A, B, C y D tienen $12n$, $6n$, $4n$ y $3n$ representantes, respectivamente, siendo $n$ un entero positivo. Esto hace un total de $25n$ representantes. Obviamente, se pueden hacer $n$ mesas de $25$ representantes poniendo $12$ representantes de A, $6$ representantes de B, $4$ representantes de C y $3$ representantes de D en cada mesa. Esta distribución deja a todos los países en minoría. Vamos a demostrar que no se puede hacer con mesas de menos de $25$ representantes y habremos terminado.

Por reducción al absurdo, supongamos que hemos conseguido hacerlo con mesas de $k\lt 25$ representantes y vamos a ver que el país A (que está muy cercano a la mayoría con $\frac{12}{25}$ de los representantes totales) no puede estar en minoría con tan pocos representantes por mesa. Distingamos dos casos:

• Si $k$ es impar, entonces el máximo número de representantes que puede tener un país para estar en minoría frente al resto es $\frac{k-1}{2}$, lo que supone una fracción máxima del total igual a \[\frac{k-1}{2k}=\frac{1}{2}-\frac{1}{2k}\lt \frac{1}{2}-\frac{1}{46}=\frac{11}{23}\lt\frac{12}{25}\] donde hemos usado que $k\leq 23$. Esto hace que el país A no pueda cumplir la condición de minoría en todas las mesas.
• Si $k$ es par, entonces la situación es similar, pero ahora cada país debe tener a lo sumo $\frac{k-2}{2}$ representantes por mesa, que es una fracción máxima del total igual a \[\frac{k-2}{2k}=\frac{1}{2}-\frac{1}{k}\leq \frac{1}{2}-\frac{1}{24}=\frac{11}{24}\lt\frac{12}{25},\] ya que ahora $k\leq 24$. Deducimos que el país A tampoco puede cumplir la minoría en todas las mesas.