Olimpiadas de Matemáticas
Página de preparación y problemas

Solución. Sustituyendo $z=-x-y$, obtenemos que \[\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=\frac{1}{x}+\frac{1}{y}-\frac{1}{x+y}=\frac{x^2+xy+y^2}{xy(x+y)}.\qquad (\star)\] Si esta expresión es igual al inverso de un natural $n$, entonces \[xy(x+y)=n(x^2+xy+y^2).\] Veamos que $n$ es par distinguiendo casos:

• Si $x$ es impar o $y$ es impar, entonces $xy(x+y)$ es par mientras que $x^2+xy+y^2$ es impar, luego $n$ tiene que ser par.
• Si $x$ e $y$ son ambos pares, entonces sea $2^a$ es la mayor potencia de $2$ que divide tanto a $x$ como a $y$. Tenemos que $2^{3a}$ divide a $xy(x+y)$, pero el factor $x^2+xy+y^2$ es divisible solo por $2^{2a}$. Por tanto $2^a$ divide a $n$, que tiene que ser par.

El problema habrá terminado si probamos que todo entero par se puede escribir de esta manera. Para que el denominador en $(\star)$ sea igual a $2$, tenemos que elegir $x=y=1$, luego $z=-2$. Esto nos da la igualdad $\frac{1}{1}+\frac{1}{1}+\frac{1}{-2}=\frac{3}{2}$, que no es solución pero podemos dividir por $3$ ambos miembros para obtener $\frac{1}{3}+\frac{1}{3}+\frac{1}{-6}=\frac{1}{2}$, luego $n=2$ es solución para $(x,y,z)=(3,3,-6)$. Obtenemos el resto de números pares $n=2k$ si tomamos $(x,y,z)=(3k,3k,-6k)$.