Olimpiadas de Matemáticas
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Problema 907
Dado un entero positivo $n$, hallar la suma de todos los enteros positivos
menores que $10n$ que no son múltiplos de $2$ ni de $5$.
pistasolución 1info
Pista. Fíjate que los números que son múltiplos de $2$ son los que terminan en un dígito par y los múltiplos de $5$ los que terminan en dígito $0$ o $5$. Entonces, estás buscando la suma de los que terminan en $1$, $3$, $7$ o $9$.
Solución. Los enteros positivos que no son múltiplos de $2$ ni de $5$ son aquellos cuyo dígito de las unidades es $1,3,7,9$. Hay exactamente $n$ números menores que $10n$ con dígito de las unidades un $j$ dado, a saber:
\[j,10+j,20+j,\ldots 10(n-1)+j.\]
La suma de estos $n$ números es
\[10(1+2+\ldots+(n-1))+nj=5n(n-1)+nj=5n^2+(j-5)n.\]
Por tanto, la suma que estamos buscando es
\[5n^2+(1-5)n+5n^2+(3-5)n+5n^2+(7-5)n+5n^2+(9-5)n=20n^2.\]
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