Olimpiadas de Matemáticas
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Solución. Por un lado, podemos reescribir la condición que nos dan como \[b^3+b^2(a+c)-b(a^2+c^2-ac)=a^3+c^3=(a+c)(a^2+c^2-ac),\] lo que nos permite deducir que \[(a+b+c)(b^2-a^2-c^2+ac)=0.\] Como quiera que el perímetro $a+b+c$ no puede ser cero, tendrá que ser $b^2=a^2+c^2-ac$, ecuación que nos recuerda al teorema del coseno $b^2=a^2+c^2-2ac\cos(B)$, de donde obtenemos que $B=\frac{\pi}{3}$ (estamos midiendo en radianes, aunque veremos que no es relevante).

Ahora bien, si en la igualdad a la que queremos llegar pasamos todo al miembro de la izquierda y ponemos denominador común, tenemos que \[\frac{1}{\sqrt{A}+\sqrt{B}}+\frac{1}{\sqrt{B}+\sqrt{C}}-\frac{2}{\sqrt{A}+\sqrt{C}}=\frac{A-2B+C}{(\sqrt{A}+\sqrt{B})(\sqrt{B}+\sqrt{C})(\sqrt{A}+\sqrt{C})}=0,\] dado que $B=\frac{\pi}{3}$ y, por tanto, $A+C=\pi-\frac{\pi}{3}=\frac{2\pi}{3}$, de donde $A-2B+C=0$.