Olimpiadas de Matemáticas
Página de preparación y problemas

Solución. Vamos a contar en primer lugar las tangencias que se producen entre las esferas de cada piso de la pila, para lo que supondremos que tenemos un triángulo formado por esferas que descansan sobre un plano con $k$ esferas en cada lado del triángulo. Si consideramos en este triángulo hileras paralelas de $1,2,\ldots,k$ esferas, entonces en la hilera con $j$ esferas se producen $j-1$ puntos de contacto entre ellas y $2j$ puntos de contactos con los de la hilera siguiente (de $j+1$ esferas). Por tanto, en el triángulo de lado $k$ tendremos el siguiente número de contactos: \begin{align*} P_k&=[1+2+\ldots+(k-1)]+[2+4+6+2(k-1)]\\ &=3(1+2+\ldots+(k-1))=\frac{3(k-1)k}{2}. \end{align*} El primer corchete son contactos en la misma hilera y el segundo entre hileras consecutivas.

Ahora bien, aparte de las tangencias entre puntos del mismo piso, cada esfera del toca a tres esferas del piso inmediatamente inferior. Por ello, el número total de puntos de contacto es: \begin{align*} \text{Total}&=P_1+\ldots+P_n+3\left(1+3+6+\ldots+\frac{n(n-1)}{2}\right)\\ &=3(1^2+2^2+\ldots+n^2)-3(1+2+\ldots+n)\\ &=3\cdot\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}-3\frac{n(n+1)}{2}=n(n-1)(n+1). \end{align*}

Nota. Hemos usado las siguientes fórmulas conocidas: \[\sum_{k=1}^nk=\frac{n(n+1)}{2},\qquad \sum_{k=1}^nk^2=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}.\]