Olimpiadas de Matemáticas
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Solución. El triángulo es rectángulo cuando su hipotenusa es un diámetro de la circunferencia circunscrita del polígono, es decir, cuando dos de sus vértices sean diametralmente opuestos. Hay $2n$ pares $(i,j)$ tales que $A_iA_j$ son diametralmente opuestos y, para cada uno de ellos, hay $2n-2$ elecciones del tercer vértice $A_k$ (los $2n-2$ vértices restantes). Por lo tanto, tenemos $3\cdot 2n\cdot (2n-2)=12n(n-1)$ ternas $(i,j,k)$ tales que $A_iA_jA_k$ es rectángulo (hemos multiplicado por $3$ porque los vértices diametralmente opuestos pueden ser $A_iA_j$, $A_jA_k$ o $A_iA_k$).

Vamos a contar ahora los triángulos obtusángulos en lugar de los acutángulos. Esto es más sencillo porque el ángulo obtuso es único y distinguible de los demás. Si suponemos que el triángulo $A_iA_jA_k$ tiene su ángulo obtuso en $A_i$, entonces $A_jA_k$ es el lado mayor y tiene que ser menor que un diámetro. Vamos a decir que la distancia entre $A_j$ y $A_k$ es $d$ si hay $d$ vértices en el arco de circunferencia $A_jA_k$, luego la distancia debe moverse entre $1$ y $n-2$ para que sea obtusángulo.

• Con distancia $1$ sólo hay dos posibles valores del par $(j,k)$, que son $(i-1,i+1)$ e $(i+1,i-1)$, donde suponemos que los vértices se numeran cíclicamente módulo $2n$.
• Con distancia $2$ hay cuatro casos: $(i-2,i+1),(i-1,i+2),(i+1,i-2),(i+2,i-1)$.
• En general, con distancia $d$, hay $2d$ posibles elecciones del par $(j,k)$, lo que nos da un total de triángulos obtusángulos con ángulo obtuso en $A_i$ igual a \[2(1+2+3+\ldots+(n-2))=(n-1)(n-2).\]

Ahora bien, como el ángulo obtuso puede ser cualquiera de los $2n$ vértices y también estar en $A_i$, $A_j$ o $A_k$, tendremos que multiplicar por $3\cdot 2n$ el resultado, es decir, tendremos un total de $6n(n-1)(n-2)$ ternas $(i,j,k)$ tales que $A_iA_jA_k$ es obtusángulo.

El número total de ternas (ordenadas) de tres elementos de un conjunto de $2n$ elementos es $2n(2n-1)(2n-2)$. Como el número de ternas que nos dan triángulos acutángulos serán las que no nos dan rectángulos ni obtusángulos, tenemos que el número buscado es \[2n(2n-1)(2n-2)-12n(n-1)-6n(n-1)(n-2)=2n(n-1)(n-2).\]

Nota. En el enunciado se dicen ternas, término que usualmente refleja que sí importa el orden (es decir, hemos considerado que una reordenación de los mismos tres vértices nos da una terna distinta). Si queremos calcular el número de posibles elecciones de tres vértices sin importar el orden (esto es, el número de triángulos) entonces hay que dividir todos los resultado entre $3!=6$, el número de reordenaciones. De esta forma, tendríamos $2n(n-1)$ triángulos rectángulos y $\frac{1}{3}n(n-1)(n-2)$ acutángulos.