Olimpiadas de Matemáticas
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Solución. Podemos desarrollar (véase la nota): \begin{align*} S_N=\sum_{n=1}^N\frac{1}{a_n}&=\sum_{n=1}^N\frac{4n^2}{4n^2-1}=\sum_{n=1}^N\left(1-\frac{1}{4n^2-1}\right)\\ &=N-\sum_{n=1}^N\frac{1}{4n^2-1}=N-\frac{1}{2}\sum_{n=1}^N\left(\frac{1}{2n-1}-\frac{1}{2n+1}\right). \end{align*} La última suma es telescópica, es decir, se suman y se restan términos que se cancelan entre sumandos consecutivos. Concretamente, tenemos que \begin{align*}\sum_{n=1}^N\left(\frac{1}{2n-1}-\frac{1}{2n+1}\right)&=\left(1-\tfrac{1}{3}\right)+\left(\tfrac{1}{3}-\tfrac{1}{5}\right)+\left(\tfrac{1}{5}-\tfrac{1}{7}\right)+\ldots+\left(\tfrac{1}{2N-1}-\tfrac{1}{2N+1}\right)\\ &=1-\frac{1}{2N+1}=\frac{2N}{2N+1}. \end{align*} De esta forma, podemos calcular \[S_N=N-\frac{1}{2}\cdot\frac{2N}{2N+1}=\frac{2N^2}{2N+1}.\] Por lo tanto, para $N=2013$ obtenemos la suma deseada: $\frac{2\cdot 2013^2}{2027}$.

Nota. Puede parecer un poco mágica la transformación que se hace de la suma original, pero responde a un esquema general similar al proceso de integración de funciones racionales. Esta técnica funciona siempre que se pueda factorizar el denominador con raíces simples racionales.

En primer lugar, se divide numerador entre el denominador para que el grado del denominador sea mayor que el del numerador, lo que nos da \[\frac{4n^2}{4n^2-1}=\frac{4n^2-1+1}{4n^2-1}=1-\frac{1}{4n^2-1}.\] En segundo lugar, visto que $4n^2-1=(2n-1)(2n+1)$, intentamos expresar \[\frac{1}{4n^2-1}=\frac{A}{2n-1}+\frac{B}{2n+1}\ \Leftrightarrow\ 1=(2n+1)A+(2n-1)B\] para ciertas constantes $A,B\in\mathbb{R}$. Para que esta última igualdad entre polinomios sea cierta, se tiene que $A+B=0$ (término en $n$) y $A-B=1$ (término independiente). Por tanto, se sigue que $A=\frac{1}{2}$ y $B=-\frac{1}{2}$.