Olimpiadas de Matemáticas
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Solución. Aplicando la desigualdad entre las medias aritmética y geométrica a los números $2^{\mathrm{sen}^2(x)}$ y $2^{\cos^2(x)}$, tenemos que \[\frac{2^{\mathrm{sen}^2(x)}+2^{\cos^2(x)}}{2}\leq\sqrt{2^{\mathrm{sen}^2(x)+\cos^2(x)}}=\sqrt{2}.\] Por lo tanto, estamos buscando ángulos $x$ para los que se obtenga la igualdad en esta desigualdad, la cual es cierta cuando los dos números son iguales, es decir, $2^{\mathrm{sen}^2(x)}=2^{\cos^2(x)}$. Esto a su vez equivale a que $\mathrm{sen}^2(x)=\cos^2(x)$ y, dividiendo por $\cos^2(x)$, también equivale a $\mathrm{tg}(x)=\pm 1$. Por tanto, las soluciones de la ecuación son $x=45+90k$ para cualquier entero $k$. Dividiendo $2013$ entre $90$ obtenemos $2013=22\cdot 90+33$ (cociente $22$ y resto $33$), luego el valor más cercano por exceso es $22\cdot 90+45=2025^\circ$ y el valor más cercano por defecto es $21\cdot 90+45=1955^\circ$.