Olimpiadas de Matemáticas
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Solución. Si $n$ es negativo, podemos cambiar $n$ por $-n$ y suponer que $n$ es positivo sin pérdida de generalidad. Ahora bien, podemos expresar $n=1000a+b$ para ciertos enteros $a$ y $b$, donde $0\leq b\leq 999$ es el número que representa las tres últimas cifras de $n$ y $a\geq 0$ las cifras restantes. Entonces, tenemos que \[k=b-a=n-1000a-a=n-1001a=n-7\cdot 11\cdot 13a.\] Esto nos dice que si $7$, $11$ o $13$ dividen a $n$, el miembro de la derecha será múltiplo de este factor, luego $k$ también lo será. Análogamente, si despejamos $n=k+7\cdot 11\cdot 13a$, tenemos que si $k$ es múltiplo de $7$, $11$ o $13$, también lo será $n$.