Olimpiadas de Matemáticas
Página de preparación y problemas

Solución. Vamos a denotar por $A_1,A_2,\ldots,A_{15}$ a las chicas y por $O_1,O_2,\ldots,O_{15}$ a los chicos, ambos conjuntos dispuestos en orden creciente de alturas (de menor a mayor). Dado un entero $1\leq n\leq 15$, queremos demostrar que la diferencia de alturas entre $A_n$ y $O_n$ no es mayor que $10$ cm, para lo que razonaremos por reducción al absurdo suponiendo que $A_n$ es más de 10 cm más alta que $O_n$ (el caso en que $O_n$ es más de 10 cm más alto que $A_n$ también hay que considerarlo pero es completamente análogo cambiando chicos por chicas). Distinguiremos los casos $n=1$ y $n\gt 1$ ya que el razonamiento es ligeramente distinto:

• Si $n=1$, entonces $O_1$ es más de $10$ cm más bajo que $A_1$, luego más de $10$ cm más bajo que todas las chicas ($A_1$ era la más baja). Por lo tanto, no podía haber estado emparejado con ninguna otra en el primer emparejamiento, lo cual es una contradicción.
• Si $n\gt 1$, entonces $O_1,O_2,\ldots,O_{n-1}$ son más bajos que $O_n$ quien es más de $10$ cm más bajo que $A_n$. Por lo tanto, $O_1,O_2,\ldots,O_{n-1}$ no podían haber estado emparejados con $A_n,A_{n+1},\ldots,A_{15}$ en el primer emparejamiento. Deducimos que en dicho primer emparejamiento $O_1,O_2,\ldots,O_{n-1}$ tenían sus parejas en el conjunto $A_1,A_2,\ldots,A_{n-1}$. Por lo tanto, $O_n$ tenía que estar emparejado con alguna de las chicas $A_n,A_{n+1},\ldots,A_{15}$, pero todas ellas son más de $10$ cm más altas que él, llegando también a contradicción.