Olimpiadas de Matemáticas
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Solución. Vamos a demostrar por inducción sobre $n$ que se cumple la siguiente desigualdad para todo $n\in\mathbb{N}$: \[a_1a_2\cdots a_n\leq 3-\frac{1}{n},\qquad (\star)\] de donde se deduce el resultado sin más que tomar $n=2013$.

En el caso base $n=1$, se tiene que $a_1=2$ y $3-\frac{1}{n}=2$, luego se alcanza la igualdad y, por tanto, la desigualdad en $(\star)$ es cierta. Supongamos entonces que $(\star)$ es cierta para un entero $n$ y probémosla para el siguiente entero $n+1$. Para ello, expresamos \begin{align*} a_1a_2\cdots a_{n+1}&=(a_1a_2\cdots a_n)a_{n+1}\leq\left(3-\frac{1}{n}\right)\left(1+\frac{1}{(n+1)^3}\right)\\ &=3-\frac{1}{n}+\frac{3}{(n+1)^3}-\frac{1}{n(n+1)^3}\\ &=3-\frac{1}{n+1}+\frac{1}{n+1}+\frac{-(n+1)^3+3n-1}{n(n+1)^3}\\ &=3-\frac{1}{n+1}+\frac{n(n+1)^2-(n+1)^3+3n-1}{n(n+1)^3}\\ &=3-\frac{1}{n+1}-\frac{n^2-n+2}{n(n+1)^3}\lt 3-\frac{1}{n+1}. \end{align*} En la primera línea hemos usado la hipótesis de inducción, luego hemos sumado y restado $\frac{1}{n+1}$ para acercarnos a la desigualdad que queríamos probar, y finalmente después de manipulación algebraica, hemos utilizado que $n^2-n+2\gt 0$ para todo entero $n$.

Nota. El valor exacto del producto, con diez cifras significativas, es $2,\!428189493$.