Olimpiadas de Matemáticas
Página de preparación y problemas
Competiciones
| OME Local |
| OME Andaluza |
| OME Nacional |
| OIM |
| IMO |
| EGMO |
| USAMO |
| ASU |
| APMO |
| OMCC |
| Retos UJA |
Buscar problemas
La base de datos contiene 2748 problemas y 1042 soluciones.
Problema 947
OIM, 2013-P1
Un conjunto $S$ de enteros positivos se llama canalero si para cualesquiera tres números $a,b,c\in S$, todos diferentes, se cumple que $a$ divide a $bc$, $b$ divide a $ca$ y $c$ divide a $ab$.
- Demostrar que, para cualquier conjunto finito de enteros positivos $\{c_1,c_2,\ldots,c_n\}$, existen infinitos enteros positivos $k$ tales que el conjunto $\{kc_1, kc_2,\ldots,kc_n\}$ es canalero.
- Demostrar que, para cualquier entero $n\geq 3$, existe un conjunto canalero que tiene exactamente $n$ elementos y ningún entero mayor que $1$ divide a todos sus elementos.
pistasolución 1info
Pista. Juega con los factores primos de los elementos del conjunto canalero.
Solución. En el apartado (a) es suficiente tomar $k=jm$, siendo $m$ el mínimo común múltiplo de $c_1,c_2,\ldots,c_n$ y $j$ cualquier entero positivo. De esta forma, es obvio que $kc_\alpha=jmc_\alpha$ divide a $kc_\beta\cdot kc_\gamma=j^2m^2c_\beta c_\gamma$ para cualesquiera subíndices $\alpha,\beta,\gamma$.
En cuanto al apartado (b), consideremos $p_1,p_2,\ldots,p_n$ primos distintos y sea $c_i=p_1\cdots p_{i-1}p_{i+1}\cdots p_n$ el producto de todos los primos excepto $p_i$. Está claro también que $c_\alpha$ divide a $c_\beta c_\gamma$ para cualesquiera subíndices distintos $\alpha,\beta,\gamma$ ya que $c_\beta c_\gamma$ contiene a todos los primos en su factorización.
Si crees que el enunciado contiene un error o imprecisión o bien crees que la información sobre la procedencia del problema es incorrecta, puedes notificarlo usando los siguientes botones:
Informar de error en enunciado Informar de procedencia del problema
Informar de error en enunciado Informar de procedencia del problema
José Miguel Manzano © 2010-2025. Esta página ha sido creada mediante software libre