Olimpiadas de Matemáticas
Página de preparación y problemas

Solución. Para cada conjunto finito de enteros positivos $X$, definimos \[P(X)=\prod_{x\in X}x,\qquad S(X)=\sum_{x\in X}x^2,\qquad D(X)=P(X)-S(X).\] Ahora consideramos la sucesión de conjuntos definida por $X_0=A$ y $X_k=X_{k-1}\cup\{P(X_{k-1})-1\}$ para todo $k\geq 1$; en particular, todos los $X_k$ contienen a $A$ ya que se pasa de $X_{k-1}$ a $X_k$ añadiendo un elemento. Será suficiente encontrar $k$ tal que $D(X_k)=0$ y definir $B=X_k$.

Comenzamos observando que \[S(X_0)=\sum_{k=1}^nk^2=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}\lt n(n-1)(n-2)\lt \prod_{k=1}^nk=P(X_0).\] ya que, para $n\gt 5$, se tiene que $n+1\lt 2(n-2)$ y $2n+1\lt 3(n-1)$. Esto nos dice que $D(X_0)=P(X_0)-S(X_0)\gt 0$. Ahora bien, se tiene que \begin{align*} D(X_k)&=P(X_k)-S(X_k)=P(X_{k-1})(P(X_{k-1})-1)-S(X_{k-1})-(P(X_{k-1})-1)^2\\ &=P(X_{k-1})^2-P(X_{k-1})-S(X_{k-1})-P(X_{k-1})^2+2P(X_{k-1})-1=D(X_{k-1})-1. \end{align*} Por lo tanto, la sucesión $D(X_k)$ comienza en un número positivo y decrece en una unidad en cada paso. Deducimos que será cero tras un cierto número de términos y hemos terminado.