Olimpiadas de Matemáticas
Página de preparación y problemas

Solución. Si la ficha $1$ está pintada de azul, entonces no puede haber ninguna ficha $n$ pintada de rojo ya que $n\cdot 1=n$ debería estar pintada de azul por la segunda regla. Por tanto, supondremos que la ficha $1$ está pintada de rojo y definimos $a$ como el menor número tal que la ficha con el número $a$ es azul. La primera regla nos asegura que las fichas $a+1,a+2,\ldots,2a-1$ tienen que estar pintadas de rojo (si $a+k$ estuviera pintada de azul con $1\leq k\leq x$, entonces $a=|(a+k)-k|$ estaría pintado de rojo) y que la ficha $2a$ tiene que estar pintada de azul (si $2a$ estuviera pintada de rojo, entonces $a=|2a-a|$ estaría pintada de rojo). Un razonamiento similar nos dice que las fichas $2a+1,2a+2,\ldots,3a-1$ tienen que estar pintadas de rojo y $3a$ de azul. Reiterando el proceso, llegamos a que solo están pintadas de azul las fichas que son múltiplo de un entero $a\geq 1$ (el caso $a=1$ corresponde con que todas estén pintadas de azul). Además, este tipo de coloraciones cumple la segunda condición ya que $x$ o $y$ son múltiplos de $a$, también lo es $xy$.

Para que los múltiplos de $a$ contengan al $5$, debe ser necesariamente $a=1$ o $a=5$, lo que nos dice que las dos únicas posibles coloraciones son colorear todas azules o bien todas rojas salvo las que son múltiplo de $5$.