Olimpiadas de Matemáticas
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Problema 956
Se considera un polígono regular de $90$ vértices numerados del $1$ al $90$ de manera aleatoria. Probar que siempre podemos encontrar dos vértices consecutivos cuyo producto es mayor o igual que $2014$.
pistasolución 1info
Pista. Demuestra que hay dos números consecutivos mayores o iguales que $45$.
Solución. Vamos a fijarnos en donde pueden estar colocados los 46 números más grandes (los números del 45 al 90, que son la mitad más uno). Si dividimos los 90 vértices en 45 parejas de vértices consecutivos, el principio del palomar nos dice que hay al menos una de esas parejas cuyos números son ambos mayores o iguales que 45, lo que nos da una pareja cuyo producto es mayor o igual que $45\cdot 46=2070\gt 2014$.
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