Olimpiadas de Matemáticas
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Solución. Si $y=0$, entonces se tiene que $x=0$ y obtenemos la solución $(0,0)$. Si $y\neq 0$, podemos dividir entre $y^4$ para obtener la ecuación equivalente \[\frac{x^4}{y^4}+1=3\frac{x^3}{y^3}\ \Leftrightarrow z^4-3z^3+1=0,\] donde hemos puesto la variable $z=\frac{x}{y}$. Buscamos ahora soluciones racionales de esta ecuación, pero sabemos que el numerador de una tal solución tiene que dividir al término independiente y el denominador al de mayor grado, luego las únicas posibles soluciones racionales de $z^4-3z^3+1=0$ son $z=\pm 1$. Ninguna de ellas cumple la ecuación, luego no hay más soluciones a la ecuación original que $(x,y)=(0,0)$.