Olimpiadas de Matemáticas
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Solución. El volumen del prisma es $L_1^2H$. Si $H_T$ es la altura total de la pirámide (sin truncar), el volumen del prisma truncado se puede calcular restando al volumen de la pirámide sin trucar el volumen de la pirámide que se trunca. De esta manera, nos queda la ecuación \[\frac{1}{3}(L_1^2H_T-L_2^2(H_T-H))=\frac{2}{3}L_1^2H,\] de donde podemos despejar el valor de $x=\frac{L_1}{L_2}$ como \[L_1^2(H_T-2H)-L_2^2(H_T-H)=0\ \Leftrightarrow\ x^2=\frac{L_1^2}{L_2^2}=\frac{H_T-H}{H_T-2H}=\frac{1-\frac{H}{H_T}}{1-2\frac{H}{H_T}}.\qquad(\star)\] Por otro lado, podemos relacionar $H$ y $H_T$ mediante la sencilla proporcionalidad $\frac{L_1}{H_T}=\frac{L_2}{H_T-H}$, de donde podemos despejar también \[x=\frac{L_1}{L_2}=\frac{H_T}{H_T-H}=\frac{1}{1-\frac{H}{H_T}}\ \Leftrightarrow\ \frac{H}{H_T}=1-\frac{1}{x}.\] Esta información la podemos sustituir directamente en $(\star)$: \[x^2=\frac{1-(1-\frac{1}{x})}{1-2(1-\frac{1}{x})}=\frac{1}{2-x}.\] Esto nos da la ecuación $x^3-2x+1=0$. Una solución es $x=1$, que debemos descartar ya que en tal caso $L_1=L_2$ y no se cumpliría el enunciado. Las otras dos soluciones son $x=\frac{1\pm\sqrt{5}}{2}$, de las que también podemos descartar la negativa ya que $x$ es el cociente de dos longitudes. Tenemos así que $\frac{L_1}{L_2}=\frac{1+\sqrt{5}}{2}$ es la razón áurea.