Olimpiadas de Matemáticas
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Solución. Si llamamos $\alpha,\beta,\gamma$ a las tres raíces de $p(x)$, entonces podemos escribir \begin{align*} p(x)&=(x-\alpha)(x-\beta)(x-\gamma)\\ &=x^3-(\alpha+\beta+\gamma)x^2+(\alpha\beta+\beta\gamma+\gamma\alpha)x-\alpha\beta\gamma, \end{align*} de modo que identificando coeficientes obtenemos las relaciones de Cardano-Vieta: \[\alpha+\beta+\gamma=2,\qquad \alpha\beta+\beta\gamma+\gamma\alpha=-25,\qquad\alpha\beta\gamma=a.\] Esto nos permite calcular \[\alpha^2+\beta^2+\gamma^2=(\alpha+\beta+\gamma)^2-2(\alpha\beta+\beta\gamma+\gamma\alpha)=4+2\cdot 25=54.\] Las raíces son números enteros y las únicas formas de escribir $54$ como suma de tres cuadrados son $49+4+1$, $36+9+9$ y $25+25+4$. Reordenando las raíces si es necesario, distinguimos tres casos:

• Si $\alpha=\pm 7$, $\beta=\pm 2$ y $\gamma=\pm 1$, es imposible que se cumpla que $\alpha+\beta+\gamma=2$ (el sumando $\alpha=\pm 7$ es demasiado grande en valor absoluto para que sumarle $\beta+\gamma$ lo hagan igual a $2$), luego no hay soluciones en este caso.
• Si $\alpha=\pm 6$, $\beta=\pm 3$ y $\gamma=\pm 3$, también es imposible que se cumpla que $\alpha+\beta+\gamma=2$ ya que $\alpha+\beta+\gamma$ siempre dará un múltiplo de tres independientemente de los signos elegidos.
• Si $\alpha=\pm 5$, $\beta=\pm 5$ y $\gamma=\pm 2$, entonces la condición $\alpha+\beta+\gamma=2$ fuerza a que $\alpha=5$, $\beta=-5$ y $\gamma=2$ (salvo posiblemente intercambiar $\alpha$ y $\beta$). Tenemos entonces que $\alpha\beta\gamma=5\cdot(-5)\cdot 2=-50$, luego $a=50$ único valor que cumple la condición del enunciado.