Olimpiadas de Matemáticas
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Problema 963
OME Local, 2014-P11
Sean $x$ e $y$ números reales entre $0$ y $1$. Probar que
\[x^3+xy^2+2xy\leq 2x^2y+x^2+x+y.\]
pistasolución 1info
Pista. Pasa todo al miembro de la derecha y manipula un poco completando algunos cuadrados perfectos.
Solución. Pasando todos los términos al segundo miembro podemos identificar algunos cuadrados perfectos y reescribir la desigualdad como
\[(1-x)(x-y)^2+y(1-y)+x\geq 0.\]
Esta desigualdad es evidente ya que 0\leq x,y\leq 1$.
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