Olimpiadas de Matemáticas
Página de preparación y problemas

Dado un conjunto $X$ y una función $f:X\to X$, denotamos, para cada $x\in X$, $f^1(x)=f(x)$ y, para cada $j\geq 1$, $f^{j+1}(x)=f(f^j(x))$. Decimos que $a\in X$ es un punto fijo de $f$ si $f(a)=a$. Para cada número real $x$, definimos $\pi(x)$ como la cantidad de primos positivos menores o iguales que $x$. Dado un número entero positivo $n$, decimos que $f:\{1,2,\ldots,n\}\to\{1,2,\ldots,n\}$ es catracha si $f^{f(k)}(k)=k$ para todo $k\in\{1,2,\ldots,n\}$. Probar que:

1. Si $f$ es catracha, entonces $f$ tiene al menos $\pi(n)-\pi(\sqrt{n})+1$ puntos fijos.
2. Si $n\geq 36$, existe una función catracha con exactamente $\pi(n)-\pi(\sqrt{n})+1$ puntos fijos.