Olimpiadas de Matemáticas
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La base de datos contiene 2434 problemas y 940 soluciones.
Problema 974
Demuestra que
\[(ax + by)^2\leq ax^2 + by^2\]
para cualesquiera $x,y\in\mathbb{R}$ y cualesquiera $a,b\in\mathbb{R}$ con $a+b=1$, $a,b\geq 0$. ¿En qué casos se da la igualdad?
pistasolución 1solución 2info
Pista. Opera con la desigualdad para transformarla en $ab(x-y)^2\geq 0$ o bien aplica la desigualdad de Jensen.
Solución. Desarrollando los términos, la desigualdad equivale a la siguiente:
\[(a-a^2)x^2-2abxy+(b-b^2)y^2\geq 0.\]
Tenemos ahora que $a-a^2=a(1-a)=ab$ y $b-b^2=b(1-b)=ab$, luego la desigualdad anterior a su vez equivale a la siguiente:
\[abx^2-2abxy+aby^2\geq 0\ \Longleftrightarrow\ ab(x-y)^2\geq 0.\]
Como esta última es obviamente cierta, la primera también lo es. Además, la igualdad se alcanza cuando $a=0$ o $b=0$ o $x=y$.
Solución. No es más que la desigualdad de Jensen para la función estrictamente convexa $f(t)=t^2$ con pesos $a$ y $b$. La igualdad se alcanza cuando uno de los pesos es cero o bien cuando los puntos son iguales, es decir, cuando $a=0$ o $b=0$ o $x=y$.
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