Olimpiadas de Matemáticas
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Solución. Supongamos que hay $n$ equipos, luego el número de enfrentamientos (ida y vuelta) es de $n(n-1)$ y, si excluimos al campeón, el resto de equipos se enfrentará $(n-1)(n-2)$ veces. Cada enfrentamiento reparte 3 puntos (2 al ganador y 1 al perdedor). Supongamos además que el campeón ha ganado $g$ partidos y, por tanto, perdido los otros $2n-2-g$ partidos. De esta forma, \[2015=3(n-1)(n-2)+g+2(2n-2-g)=3n^2-5n-g+2.\] Ahora basta dar valores a la función cuadrática $f(n)=3n^2-5n+2$ para ver en qué momento su valor pasa de $2015$ (esta función se anula en $n=\frac{2}{3}$ y $n=1$, luego es creciente para $n\geq 1$). Como $f(26)=1900$ y $f(27)=2054$, vamos a considerar el caso $n=27$, que nos da $g=2054-2015=39$.

Si probamos que no puede ser $n\gt 27$, habremos probado que la única solución es $39$ partidos. Para ello, observamos que el número máximo de partidos que puede haber ganado el campeón es $2n-2$, luego se cumple que \[2015=3n^2-5n-g+2\geq 3n^2-5n-(2n-2)+2=3n^2-7n+4.\] La función $g(n)=3n^2-7n+4$ es creciente para $n\geq \frac{7}{6}$ y cumple que $g(27)=2002$ y $g(28)=2160\gt 2015$, lo que demuestra que no puede ser $n\geq 28$.