Olimpiadas de Matemáticas
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Solución. Despejando $2y=z-x$ en la primera ecuación y sustituyendo en la segunda, tenemos que \[310=x^2-(2y)^2+z^2=x^2-(z-x)^2+z^2=2xz,\] luego $xz=155$. Podemos factorizar $155=5\cdot 31$, lo que nos da muy pocas opciones para el par $(x,z)$. Además, tenemos que $2y=z-x$, luego tiene que ser $z\gt x$ ya que $y$ debe ser un entero positivo:

• Si $(x,z)=(1,155)$, entonces $y=77$ y $xyz=11935$.
• Si $(x,z)=(5,31)$, entonces $y=13$ y $xyz=2015$ (¡el año!).

Se comprueba fácilmente que las anteriores son soluciones, luego los posibles valores de $xyz$ son $2015$ y $11935$.