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Problema 978
En una recta tenemos cuatro puntos $A$, $B$, $C$ y $D$, en ese orden, de forma que $AB=CD$. El punto $E$ es un punto fuera de la recta tal que $CE=DE$. Demostrar que $\angle CED=2\angle AEB$ si, y solo si, $AC=EC$.
pistasolución 1info
Pista. Se puede relacionar lo que tienes que demostrar con la propiedad del arco capaz y el ángulo central.
Solución. Consideremos la circunferencia que pasa por $A$, $B$ y $E$ y sea $O$ su centro. Si denotamos por $\alpha=\angle AEB$, entonces se tiene que $\angle AOB=2\alpha$ por la propiedad del ángulo central. Veamos con esto la doble implicación:
- Si $\angle CED=2\angle AEB$, entonces $\angle CED=\angle AOB$. Los triángulos $AOB$ y $CED$ son congruentes porque son isósceles, tienen los mismos ángulos y $AB=CD$. Por lo tanto, $AOEC$ es un paralelogramo y se tiene que $AC=OE=OA=EC$.
- Recíprocamente, si suponemos que $AC=EC$, consideremos el punto $O'$ tal que $AO'EC$ es un paralelogramo. Como $AB=CD$ y $AC=EC$, se tiene que $O'A=O'B=O'E$, luego $O'=O$ y se deduce que $\angle CED=\angle AOB=2\alpha$ por la propiedad del ángulo central.
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