Olimpiadas de Matemáticas
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Solución. La primera ecuación se puede escribir como $2x\sqrt{x+1}=1+y+y^2$ y, elevando al cuadrado, obtenemos $4x^2(x+1)=(1+y+y^2)^2$. Por lo tanto, \[(x^2+x+1)^2=(x^2-x-1)^2+4x^2(x+1)=(x^2-x-1)^2+(y^2+y+1)^2,\] por lo que se cumple la desigualdad \[(x^2+x+1)^2\geq (y^2+y+1)^2\] y la igualdad se da si y sólo si $x^2-x-1=0$. Razonando de forma similar con las otras ecuaciones, llegamos a que \[(x^2+x+1)^2\geq (y^2+y+1)^2\geq (z^2+z+1)^2\geq (x^2+x+1)^2,\] por lo que se ha de cumplir necesariamente la igualdad en todas las desigualdades y deducimos que $x=y=z=\frac{1+\sqrt{5}}{2}$, que es el único número positivo que cumple $x^2-x-1=0$.