Olimpiadas de Matemáticas
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Solución. Cambiando $n$ por $n+1$ obtenemos la igualdad $f(n+1)+f(n+2)=2n+3$. Si a esta le restamos la ecuación del enunciado, obtenemos que $f(n+2)=f(n)+2$ para todo entero $n$. De aquí se deduce fácilmente por inducción sobre $k$ que \[f(2k)=2k+f(0),\qquad f(2k+1)=2k+f(1).\] Por tanto, $a=f(0)$ y $b=f(1)$ determinan completamente a la función y verifican $a+b=1$ (haciendo $n=0$ en la ecuación funcional original). Si imponemos la otra condición del enunciado, tenemos que \begin{align*} 2015&=f(1)+f(2)+\ldots+f(63)\\ &=(31a+2+4+\ldots+62)+(32b+0+2+4+\ldots+62)\\ &=31a+32b+4(1+2+\ldots+31)=31a+32b+2\cdot 31\cdot 32=31a+32b+1984. \end{align*} Por tanto, tenemos el sistema de ecuaciones \[\left\{\begin{array}{l}a+b=1\\31a+32b=31\end{array}\right.\] que se resuelve fácilmente dando la solución única $a=1$ y $b=0$. Deducimos así que solo existe una función cumpliendo las condiciones dadas y está definida por \[f(n)=\begin{cases}n+1&\text{si }n\text{ par},\\n-1&\text{si }n\text{ impar}.\end{cases}\]