Olimpiadas de Matemáticas
Página de preparación y problemas

Solución. En el apartado (a), simplemente hay que ordenar las bolas de menor a mayor y luego hacer $n$ parejas de valores consecutivos. Que haya dos sumas iguales implica por tanto que hay cuatro valores $a\leq b\leq c\leq d$ tales que $a+b=c+d$. Esto nos dice que $d=a+b-c\leq a+b-b=a$, luego la anterior cadena de desigualdades nos da $a=b=c=d$.

Para el apartado (b), razonaremos por reducción al absurdo que hay $n$ o más valores distintos. Esto quiere decir que podemos tomar una sucesión estrictamente creciente de valores $x_1\lt x_2\lt\ldots\lt x_n$ y ordenar el resto de valores como $y_1\leq y_2\leq\ldots\leq y_n$. Por lo tanto, se cumple que \[x_1+y_1\lt x_2+y_2\lt\ldots\lt x_n+y_n,\] luego si emparejamos cada $x_k$ con el correspondiente $y_k$, ninguna pareja tendrá la misma suma, contradiciendo el enunciado del problema.

Nota. El apartado (b) nos da una estimación óptima. Por ejemplo, podríamos tomar $n-1$ bolas con los valores del $1$ al $n$ y las otras $n+1$ bolas todas iguales a $1$. No importa como emparejemos, siempre habrá dos parejas formadas únicamente por unos y por tanto tendrán la misma suma.