Olimpiadas de Matemáticas
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Solución. La ecuación se reescribe como \[2^{2x-1}-5x-3=2^{2x-1}+2^{x-1}-2^x-1,\] luego podemos simplificar para obtener \[2^{x-1}-2^x+5x+2=0\ \Leftrightarrow\ 2^{x-1}=5x+2.\] Para $x=1,2,3,4,5$, el miembro de la derecha es igual a $7,12,17,22,27$, que no son potencias de $2$, si bien para $x=6$ tenemos una solución ya que ambos miembros son iguales a $32$. Para $x\geq 7$, probaremos por inducción que $2^{x-1}\gt 5x+2$. El caso base es $x=7$ y tenemos que $2^{x-1}=64$ mientras que $5x+2=37$. Supuesto que la desigualdad $2^{x-1}\gt 5x+2$ es cierta para algún $x\geq 7$, queremos probar la desigualdad para $x+1$. Se tiene que \[2^x=2\cdot 2^{x-1}\stackrel{(\star)}{\gt}2\cdot(5x+2)=10x+4\gt 5x+5x+4\gt 5x+7,\] donde en $(\star)$ hemos usado la hipótesis de inducción.

Esto nos da la única solución $x=6$, que nos lleva a que \[n=2^{2\cdot 6-1}-5\cdot 6-3=2015.\]