Olimpiadas de Matemáticas
Página de preparación y problemas

Sean $\alpha$ y $\beta$ raíces del polinomio $x^2-qx+1$, donde $q$ es un número racional mayor que $2$. Se define $s_1=\alpha+\beta$, $t_1=1$ y, para cada entero $n\geq 2$, \[s_n=\alpha^n+\beta^n,\qquad t_n=s_{n-1}+2s_{n-2}+\ldots+(n-1)s_1+n.\] Demuestre que, para todo $n$ impar, $t_n$ es el cuadrado de un número racional.