Olimpiadas de Matemáticas
Página de preparación y problemas

Solución. Supongamos que las baldosas cuadradas tienen dimensiones $n\times n$. El primer día se cubren $n^2$ unidades cuadradas, el segundo $2n^2$, el tercero $3n^2$, y así sucesivamente hasta el $k$-ésimo día en que se cubren $kn^2$. De esta forma, el problema equivale a la ecuación \[(1+2+\ldots+k)n^2=18144=2^5\cdot 3^4\cdot 7.\] Como $1+2+\ldots+k=\frac{1}{2}k(k+1)$, esto equivale a \[k(k+1)n^2=2^6\cdot 3^4\cdot 7.\] Vistos los exponentes y que $k$ o $k+1$ son pares, sólo hay unas pocas posibilidades para el factor $n^2$:

• Si $n^2=1$, la ecuación queda $k^2+k=36288$.
• Si $n^2=2^2$, la ecuación queda $k^2+k=9072$.
• Si $n^2=2^4$, la ecuación queda $k^2+k=2268$.
• Si $n^2=3^2$, la ecuación queda $k^2+k=4032$.
• Si $n^2=2^2\cdot 3^2$, la ecuación queda $k^2+k=1008$.
• Si $n^2=2^4\cdot 3^2$, la ecuación queda $k^2+k=112$.
• Si $n^2=3^4$, la ecuación queda $k^2+k=448$.
• Si $n^2=2^2\cdot 3^4$, la ecuación queda $k^2+k=112$.
• Si $n^2=2^4\cdot 3^4$, la ecuación queda $k^2+k=28$.

De todas estas ecuaciones, la única que tiene solución entera es para $n^2=3^2=9$, en la que tenemos que $k=63$ es la única solución positiva. Por tanto, fueron necesarias $\frac{1}{2}k(k+1)=2016$ de tamaño $3\times 3$.

Nota. ¿Se te ocurre alguna forma de descartar alguno de los nueve casos sin tener que resolver la ecuación de segundo grado?