Olimpiadas de Matemáticas
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Solución. Si llamamos $\alpha,\beta,\gamma$ a las tres raíces, podemos desarrollar \[(x-\alpha)(x-\beta)(x-\gamma)=x^3-(\alpha+\beta+\gamma)x^2+(\alpha\beta+\beta\gamma+\gamma\alpha)x-\alpha\beta\gamma,\] e igualar coeficientes para obtener las ecuaciones de Cardano-Vieta: \[\alpha+\beta+\gamma=14,\qquad \alpha\beta+\beta\gamma+\gamma\alpha=B,\qquad \alpha\beta\gamma=84.\] Que las raíces sean lados de un triángulo equilátero nos dice que deben cumplir el teorema de Pitágoras, es decir, que podemos suponer que $\alpha^2=\beta^2+\gamma^2$ sin pérdida de generalidad (hay simetría entre las raíces). Calculamos entonces \[2\alpha^2=\alpha^2+\beta^2+\gamma^2=(\alpha+\beta+\gamma)^2-2(\alpha\beta+\beta\gamma+\gamma\alpha)=196-2B,\] de donde deducimos que $\alpha^2=98-B$. Ahora podemos usar la primera y tercera ecuación de Cardano para calcular de otra forma \begin{align*} 98-\alpha^2&=B=\beta\gamma+\alpha(\beta+\gamma)=\frac{84}{\alpha}+\alpha(14-\alpha). \end{align*} Esto nos da la ecuación de segundo grado $\alpha^2-7\alpha+6=0$, que tiene soluciones $\alpha=1$ y $\alpha=6$. Sustituyendo $\alpha=1$ en las ecuaciones de Cardano, obtenemos que $\beta+\gamma=13$ y $\beta\gamma=84$, es decir, $\beta$ y $\gamma$ son las soluciones de la ecuación $x^2-13x+84=0$, pero esta ecuación no tiene soluciones reales. Deducimos que tiene que ser $\alpha=6$, en cuyo caso tenemos el sistema $\beta+\gamma=8$ y $\beta\gamma=14$, luego $\beta$ y $\gamma$ son las soluciones de $x^2-8x+14=0$, lo que nos da números reales positivos $\beta=4+\sqrt{2}$ y $\gamma=4-\sqrt{2}$ (salvo reordenación) que claramente verifican $\alpha^2=\beta^2+\gamma^2$. Podemos finalmente calcular \[B=\beta\gamma+\alpha(\beta+\gamma)=14+6\cdot 8=62.\] Deducimos así que $B=62$ es la única solución al problema.