Olimpiadas de Matemáticas
Página de preparación y problemas

Determinar todos los números naturales $N$ de tres cifras que son divisibles por $11$ y tales que $N/11$ es igual a la suma de los cuadrados de los dígitos de $N$.

Hallar los valores de $x$ para los que se cumple la siguiente desigualdad: \[\frac{4x^2}{\bigl(1-\sqrt{1+2x}\bigr)^2}\lt 2x+9.\]

En un triángulo rectángulo $ABC$, la hipotenusa $BC$ tiene longitud $a$ y se divide en $n$ segmentos iguales, siendo $n$ un entero impar. Sea $\alpha$ el ángulo agudo con vértice en $A$ y que subtiende al segmento central (el que contiene el punto medio de la hipotenusa). Sea $h$ la altura del triángulo sobre la hipotenusa. Demostrar que \[\tan(a)=\frac{4nh}{(n^2-1)a}.\]

Construir con regla y compás un triángulo $ABC$ conocidas $h_a$ y $h_b$ (las alturas sobre los lados $a$ y $b$, respectivamente) y $m_a$ (la mediana que pasa por el punto medio del lado $a$).

Consideramos un cubo $ABCDA'B'C'D'$ con la cara $A'B'C'D'$ directamente encima de la cara $ABCD$.

1. Hallar el lugar geométrico del punto medio del segmento $XY$, donde $X$ e $Y$ son puntos que se mueven en $AC$ y $B'D'$, respectivamente.
2. Hallar el lugar geométrico de los puntos $Z$ del segmento $XY$ del apartado (a) con $ZY=2XZ$.

Consideremos un cono de revolución con una esfera inscrita tangente a la base del cono. Se circunscribe un cilindro a esta esfera de forma que una de sus bases está contenida en la base del cono. Sea $V_1$ el volumen del cono y $V_2$ el volumen del cilindro.

1. Demostrar que $V_1\neq V_2$.
2. Hallar el menor número $k$ para el que $V_1=kV_2$. Para este valor de $k$, hallar el ángulo con vértice en el vértice del cono y que subtiende un diámetro de la base del cono.

Consideremos un trapecio isósceles con bases $a$ y $c$ y altura $h$.

1. Hallar los puntos $P$ sobre el eje de simetría del trapecio tales que ambos catetos del trapecio son subtendidos por ángulos rectos con vértice en $P$.
2. Calcular las distancias de $P$ a ambas bases.
3. Determinar bajo qué condiciones los puntos $P$ existen realmente y discutir los distintos casos que pueden aparecer.