Olimpiadas de Matemáticas
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La base de datos contiene 2434 problemas y 940 soluciones.
IV Olimpiada Matemática Internacional — 1962
Sesión 1
Problema 48
IMO, 1962-P1
Hallar el menor número natural \(n\in\mathbb{N}\) que cumple las siguientes dos propiedades:
- Su representación en base decimal termina en 6.
- Si borramos el 6 final y lo colocamos delante del resto de los dígitos, el número resultante es cuatro veces el anterior.
pistasolución 1info
Pista. Demuestra que la cifra de las unidades de \(n\) tiene que ser igual a \(4\).
Solución. Supongamos que un número que cumple las condiciones del enunciado está dado por \(\sum_{k=1}^n 10^ka_k+6\)), donde \(0\leq a_k\leq 9\) para todo \(k\). Entonces, la segunda condición puede escribirse como
\[6\cdot 10^k+\sum_{k=1}^n 10^{k-1}a_k=4\left(\sum_{k=1}^n 10^ka_k+6\right)\]
Como \(6\cdot 4=24\), el miembro de la izquierda tiene que acabar en \(4\), esto es, \(a_1=4\). Observemos ahora que sabemos que el número termina en \(46\) y, como \(46\cdot 4=184\), el miembro de la izquierda termina en \(84\) luego el número que buscamos termina en \(846\). Reiterando el proceso tres veces más, tenemos que los seis últimos dígitos de un número que cumpla las propiedades del enunciado tienen que ser \(153846\) y, en particular, tal número tiene que tener al menos seis cifras significativas. Como el propio \(153846\) cumple que \(615384=4\cdot 153846\), éste es el menor número que lo cumple.
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Problema 1218
IMO, 1962-P2
Determinar todos los números reales $x$ que verifican
\[\sqrt{3-x}-\sqrt{x+1}\gt\tfrac{1}{2}.\]
Sin pistas
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Problema 1219
IMO, 1962-P3
Consideremos un cubo $ABCDA'B'C'D'$ de forma que $ABCD$ y $A'B'C'D'$ son las bases superior e inferior, respectivamente, y las aristas $AA',BB',CC',DD'$ son paralelas. Un punto $X$ se mueve a velocidad constante a lo largo del perímetro del cuadrado $ABCD$ siguiendo el sentido $A\to B\to C\to D\to A$ y un punto $Y$ se mueve con la misma velocidad a lo largo del perímetro del cuadrado $ B'C'CB$ siguiendo el sentido $B'\to C'\to C\to B\to B'$. Los puntos $X$ e $Y$ inician su movimiento en el mismo instante desde las posiciones iniciales $A$ y $B'$, respectivamente. Hallar el lugar geométrico del punto medio del segmento $XY$ a lo largo del movimiento.
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Sesión 2
Problema 1220
IMO, 1962-P4
Resolver la ecuación
\[\cos^2(x)+\cos^2(2x)+\cos^2(3x)=1.\]
Sin pistas
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Problema 1221
IMO, 1962-P5
Sobre un círculo $K$ se colocan tres puntos $A$, $B$ y $C$. Construir usando regla y compás un cuarto punto $D$ sobre $K$ tal que el cuadrilátero $ABCD$ admita una circunferencia inscrita.
Sin pistas
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Problema 1222
IMO, 1962-P6
En un triángulo isósceles, sea $r$ el radio de la circunferencia circunscrita y $\rho$ el radio de la circunferencia insrita. Demostrar que la distancia $d$ entre los centros de estas dos circunferencias viene dada por
\[d=\sqrt{r(r-2\rho)}.\]
Sin pistas
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Problema 1223
IMO, 1962-P7
Una pirámide $SABC$ de base triangular tiene la siguiente propiedad: existen cinco esferas, cada una de ellas tangente a las rectas que contienen a las seis aristas $SA, SB, SC, BC, CA, AB$.
- Demostrar que la pirámide es un tetraedro regular.
- Recíprocamente, demostrar que cualquier tetraedro regular tiene dicha propiedad.
Sin pistas
Sin soluciones
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