Olimpiadas de Matemáticas
Página de preparación y problemas

Solución. Escribiéndolo de otra manera, queremos encontrar todos los $n\in\mathbb{N}$ tales que $2^n\equiv 1\ (\mbox{mód } 7)$. Ahora bien, como $2^3=8\equiv 1\ (\mathrm{mod}\ 7)$, tenemos que:

• Si $n=3k$, entonces $2^{3k}=(2^3)^k\equiv 1\ (\mathrm{mod}\ 7)$.
• Si $n=3k+1$, entonces $2^n=2\cdot (2^3)^k\equiv 2\ (\mathrm{mod}\ 7)$.
• Si $n=3k+2$, entonces $2^n=4\cdot(2^3)^k\equiv 4\ (\mathrm{mod}\ 7)$.

Por tanto, los únicos valores de $n$ para los que $2^n-1$ es múltiplo de $7$ son los múltiplos de 3. Sin embargo, no hay valores de $n$ para los que $2^n+1$ sea múltiplo de $7$ ya que esto muestra que $2^n+1$ es congruente con $2$, $3$ o $5$ módulo $7$.

Solución. Si $a,b,c$ son las longitudes de los lados de un triángulo, entonces podemos sustituir $a=x+y$, $b=y+z$ y $c=z+x$, siendo ahora $x,y,z$ números positivos arbitrarios. Esto nos da la siguiente desigualdad a demostrar \[2z(x+y)^2+2x(y+z)^2+2y(z+x)^2\leq 3(x+y)(y+z)(x+z).\] Haciendo todos los productos indicados, nos queda equivalentemente \[xy^2+x^2y+yz^2+y^2z+zx^2+xz^2\leq 6xyz.\] Esta última desigualdad es consecuencia de aplicar la desigualdad entre las medias aritmética y geométrica a los seis sumandos (observemos que son números positivos), es decir, \[\frac{xy^2+x^2y+yz^2+y^2z+zx^2+xz^2}{6}\leq\sqrt[6]{xy^2\cdot x^2y\cdot yz^2\cdot y^2z\cdot zx^2\cdot xz^2}=xyz.\]