Olimpiadas de Matemáticas
Página de preparación y problemas

Hallar todos los números reales $0\leq x\leq 2\pi$ que verifican las desigualdades \[2\cos(x)\leq\left|\sqrt{1+\mathrm{sen}(2x)}-\sqrt{1-\mathrm{sen}(2x)}\right|\leq\sqrt{2}.\]

Consideremos el sistema de ecuaciones \[\left.\begin{array}{r} a_{11}x_1+a_{12}x_2+a_{13}x_3=0\\ a_{21}x_1+a_{22}x_2+a_{23}x_3=0\\ a_{31}x_1+a_{32}x_2+a_{33}x_3=0 \end{array}\right\},\] donde $x_1,x_2,x_3$ son las incógnitas. Se cumplen además las siguientes condiciones:

• Los coeficientes $a_{11},a_{22},a_{33}$ son números reales positivos.
• El resto de coeficientes son números reales negativos.
• La suma de los coeficientes de cada ecuación es positiva.

Demostrar que el sistema tiene únicamente la solución trivial $x_1=x_2=x_3=0$.

Sea $ABCD$ una pirámide de base triangular cuyas aristas $AB$ y $CD$ tienen longitudes $a$ y $b$ respectivamente. La distancia entre las rectas que se cruzan $AB$ y $CD$ es $d$ y el ángulo entre ellas es $\omega$. La pirámide se divide en dos sólidos mediante el plano $\varepsilon$, paralelo a las rectas $AB$ y $CD$. La razón entre las distancias a $\varepsilon$ desde $AB$ y $CD$ es igual a $k$. Hallar la razón entre los volúmenes de estos dos sólidos.

Nota: Las rectas $AB$ y $CD$ en el espacio se cruzan si no son paralelas ni se cortan. El ángulo que forman $AB$ y $CD$ es el ángulo que forman sus proyecciones ortogonales sobre el plano paralelo $\varepsilon$.

Hallar todos los conjuntos de cuatro números reales $x_1,x_2,x_3,x_4$ tales que la suma de cualquiera de ellos y el producto de los otros tres es igual a $2$.

Consideremos un triángulo $OAB$ con ángulo agudo $\angle AOB$. Se trazan perpendiculares a $OA$ y $OB$ que pasan por un punto común $M\neq O$ y cuyos pies son $P$ y $Q$, respectivamente. El punto de intersección de las alturas del triángulo $OPQ$ es $H$. ¿Cuál es el lugar geométrico de $H$ cuando $M$ varía en el lado $AB$? ¿Y cuando varía en el interior de $OAB$?

En el plano se tiene un conjunto de $n\geq 3$ puntos y cada par de ellos está conectado por un segmento. Sea $d$ la distancia del más largo de tales segmentos. Definimos un diámetro del conjunto como cualquier segmento de longitud $d$. Demostrar que el número de diámetros del conjunto es a lo sumo $n$.