Olimpiadas de Matemáticas
Página de preparación y problemas

En una competición matemáticas se propusieron tres problemas $A$, $B$ y $C$. Entre los concursantes, hubo 25 estudiantes que resolvieron al menos uno de los problemas. De todos los que no resolvieron el problema $A$, el número de los que resolvieron $B$ fue el doble de los que resolvieron $C$. El número de estudiantes que resolvieron solo $A$ fue uno más que los que resolvieron $A$ junto con al menos uno de los otros dos problemas. De todos los estudiantes que resolvieron solo un problema, la mitad no resolvió $A$. ¿Cuántos estudiantes resolvieron solo $B$?

Sean $a,b,c$ las longitudes de los lados de un triángulo y $\alpha,\beta,\gamma$, respectivamente, sus ángulos opuestos. Demostrar que si se cumple que \[a+b=(a\tan\alpha+b\tan\beta)\tan\tfrac{\gamma}{2},\] entonces el triángulo es isósceles.

Demostrar que la suma de las distancias de los vértices de un tetraedro regular al centro de su esfera circunscrita es menor que la suma de las distancias de estos vértices a cualquier otro punto del plano.

Probar que para todo número natural $n$ y para todo número real $x$ distinto de $\frac{k\pi}{2^t}$, siendo $k$ y $0\leq t\leq n$ enteros, \[\frac{1}{\mathrm{sen}(2x)}+\frac{1}{\mathrm{sen}(4x)}+\ldots+\frac{1}{\mathrm{sen}(2^nx)}=\cot(x)-\cot(2^nx).\]

Resolver el siguiente sistema de ecuaciones: \[\left\{\begin{array}{l} \phantom{|a_1-a_2|x_2+}\ \ |a_1-a_2|x_2+|a_1-a_3|x_3+|a_1-a_4|x_4=1\\ |a_2-a_1|x_1\phantom{|a_1-a_2|x_2+}\ \ +|a_2-a_3|x_3+|a_2-a_4|x_4=1\\ |a_3-a_1|x_1+|a_3-a_2|x_2\phantom{|a_1-a_2|x_2+}\ \ +|a_3-a_4|x_4=1\\ |a_4-a_1|x_1+|a_4-a_2|x_2+|a_4-a_3|x_3\phantom{|a_1-a_2|x_2+}\ \ =1\end{array}\right.\] donde $a_1,a_2,a_3,a_4$ son cuatro números reales distintos.

Se eligen puntos $K,L,M$ en el interior de los lados $BC,CA,AB$, respectivamente, de un triángulo $ABC$. Demostrar que el área de al menos uno de los triángulos $AML,BKM,CLK$ es menor o igual que $1/4$ del área del triángulo $ABC$.