Olimpiadas de Matemáticas
Página de preparación y problemas

Sea $ABCD$ un paralelogramo con lados de longitudes $AB=a$ y $AD=1$ y con $\angle BAD=\alpha$. Si $ABD$ es acutángulo, demostrar que los cuatro círculos de radio $1$ con centros en $A,B,C,D$ cubren el paralelogramo si y sólo si \[a\leq\cos\alpha+\sqrt{3}\,\mathrm{sen}\,\alpha.\]

Demostrar que si una y solo una de las aristas de un tetraedro es mayor que $1$, entonces su volumen es menor o igual que $1/8$.

Sean $k,m,n$ enteros positivos tales que $m+k+1$ es un número primo mayor que $n+1$. Sea $c_s=s(s+1)$. Demostrar que el producto \[(c_{m+1}-c_k)(c_{m+2}-c_k)\cdots(c_{m+n}-c_k)\] es divisible por el producto $c_1c_2\cdots c_n$.

Sean $A_0B_0C_0$ y $A_1B_1C_1$ dos triángulos acutángulos. Consideremos todos los triángulos $ABC$ que son semejantes a $A_1B_1C_1$ y tales que $A_0$ está en el lado $AB$, $B_0$ en $CA$ y $C_0$ en $AB$. De todos los posibles triángulos en estas condiciones, hallar el que tiene mayor área y construirlo.

Consideremos la sucesión $\{c_n\}$ definida por \[c_n=a_1^n+a_2^n+\ldots+a_s^n,\] en donde $a_1,a_2,\ldots,a_s$ son números reales no todos ellos nulos. Supongamos que hay un número infinito de términos $c_n$ que son iguales a cero. Determinar los valores de $n$ para los que $c_n=0$.

En una competición deportiva hay $m$ medallas que se dan en $n$ días sucesivos, siendo $n\gt 1$. El primer día se da una medalla y $1/7$ de las restantes. El segundo día, se dan dos medallas y $1/7$ de las restantes, y así sucesivamente. El día $n$-ésimo, que es el último, se dan $n$ medallas y no sobra ninguna. ¿Cuántos días duró la competición y cuántas medallas se dieron?