Olimpiadas de Matemáticas
Página de preparación y problemas

Demostrar que hay un único triángulo cuyas longitudes de los lados son enteros consecutivos y tal que uno de sus ángulos es el doble de otro.

Encontrar todos los números naturales $x$ tales que el producto de sus dígitos (en notación decimal) es igual a $x^2-10x-22$.

Consideremos el siguiente sistema de ecuaciones \[\left.\begin{array}{r} ax_1^2+bx_1+c=x_2\\ ax_2^2+bx_2+c=x_3\\ ax_3^2+bx_3+c=x_4\\ \vdots\\ ax_n^2+bx_n+c=x_1 \end{array}\right\},\] donde $x_1,x_2,\ldots,x_n$ son las incógnitas y $a,b,c$ son números reales con $a\neq 0$. Sea $\Delta=(b-1)^2-4ac$. Demostrar las siguientes afirmaciones:

1. Si $\Delta\lt 0$, el sistema no tiene soluciones.
2. Si $\Delta=0$, el sistema tiene exactamente una solución.
3. Si $\Delta\gt 0$, el sistema tiene más de una solución.

Probar que en todo tetraedro hay un vértice tal que las tres aristas que comparten dicho vértice tienen longitudes que pueden ser las de los lados de un triángulo.

Sea $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ una función tal que, para cierta constante real $a$, cumple que \[f(x+a)=\frac{1}{2}+\sqrt{f(x)-f(x)^2}\] para cualquier $x\in\mathbb{R}$.

1. Probar que la función $f$ es periódica.
2. Para $a=1$, dar un ejemplo de función $f$ no constante cumpliendo esta propiedad.

Para todo entero positivo $n$, dar el valor de la suma \[\sum_{k=0}^\infty\left\lfloor\frac{n+2^k}{2^{k+1}}\right\rfloor.\]

Nota. $\lfloor x\rfloor$ denota la parte entera de $x$, el mayor entero menor o igual que $x$.