Olimpiadas de Matemáticas
Página de preparación y problemas

Demostrar que hay infinitos números naturales $a$ tales que $n^4+a$ no es primo para ningún número natural $n$.

Sean $a_1,a_2,\ldots,a_n$ constantes reales y definamos la función \[f(x)=\sum_{k=1}^n\frac{\cos(a_k+x)}{2^{k-1}}.\] Demostrar que si $f(x_1)=f(x_2)=0$, entonces $x_2-x_1$ es un múltiplo entero de $\pi$.

Para cada entero $1\leq k\leq 5$, encontrar condiciones necesarias y suficientes para que un número $a\gt 0$ cumpla que existe un tetraedro con $k$ aristas de longitud $a$ y $6-k$ aristas de longitud $1$.

Se tiene una semicircunferencia $\gamma$ con diámetro $AB$ y $C$ un punto sobre $\gamma$ distinto de $A$ y $B$. Sea $D$ el pie de la perpendicular a $AB$ que pasa por $C$. Consideramos tres círculos $\gamma_1,\gamma_2,\gamma_3$ tangentes a la recta $AB$, de forma que $\gamma_1$ está inscrito en el triángulo $ABC$, mientras que $\gamma_2$ y $\gamma_3$ son ambos tangentes a $CD$ y a $\gamma$, uno a cada lado de $CD$. Demostrar que $\gamma_1,\gamma_2,\gamma_3$ tienen una recta tangente común distinta de $AB$.

Se tienen $n\gt 4$ puntos en el plano tales que no hay tres de ellos alineados. Demostrar que hay al menos $\binom{n-3}{2}$ cuadriláteros convexos cuyos vértices son cuatro de los $n$ puntos dados.

Demostrar que para cualesquiera números reales $x_1,x_2,y_1,y_2,z_1,z_2$ con $x_1\gt 0$, $x_2\gt 0$ y $x_2y_2-z_2^2\gt 0$, se cumple la desigualdad \[\frac{8}{(x_1+x_2)(y_1+y_2)-(z_1+z_2)^2}\leq \frac{1}{x_1y_1-z_1^2}+\frac{1}{x_2y_2-z_2^2}.\] Dar condiciones necesarias y suficientes para que se alcance la igualdad.