Olimpiadas de Matemáticas
Página de preparación y problemas

Sea $M$ un punto sobre el lado $AB$ de un triángulo $ABC$. Sean $r_1$, $r_2$ y $r$ los radios de las circunferencias inscritas de los triángulos $AMC$, $BMC$ y $ABC$. Sean $q_1$, $q_2$ y $q$ los radios de las circunferencias exinscritas de dichos triangulos que caen en el interior del ángulo $\angle ACB$. demostrar que \[\frac{r_1r_2}{q_1q_2}=\frac{r}{q}.\]

Sean $a$, $b$ y $n$ enteros mayores que $1$ y supongamos que $a$ y $b$ son las bases de dos sistemas de numeración. Tenemos enteros positivos $A_{n-1}$ y $A_n$ expresados en base $a$ como \[A_{n-1}=x_{n-1}x_{n-2}\ldots x_0,\qquad A_n=x_nx_{n-1}\ldots x_0,\] y los enteros positivos $B_{n-1}$ y $B_n$ que tienen la misma representación en base $b$: \[B_{n-1}=x_{n-1}x_{n-2}\ldots x_0,\qquad B_n=x_nx_{n-1}\ldots x_0,\] siendo los dígitos $x_{n-1}$ y $x_n$ no nulos. Demostrar que \[\frac{A_{n-1}}{A_n}\lt\frac{B_{n-1}}{B_n}\ \text{si y solo si} a\gt b.\]

Sea $\{a_0,a_1,\ldots,a_n,\ldots\}$ una sucesión infinita creciente de números reales con $a_0=1$. Para cada entero positivo $n$, definimos el número real \[b_n=\sum_{k=1}^n\left(1-\frac{a_{k-1}}{a_k}\right)\frac{1}{\sqrt{a_k}}.\]

1. Demostrar que $0\leq b_n\leq 2$ para todo natural $n$.
2. Dado $c$ con $0\leq c\lt 2$, demostrar que podemos elegir una sucesión inicial $\{a_0,a_1,\ldots,a_n,\ldots\}$ tal que $b_n\gt c$ a partir de un término suficientemente grande.

Determinar el conjunto de enteros positivos $n$ con la propiedad de que el conjunto $\{n,n+1,n+2,n+3,n+4,n+5\}$ puede descomponerse en dos subconjuntos tales que los productos de los elementos de cada subconjunto son iguales.

En un tetraedro $ABCD$ el ángulo $BDC$ es recto. Supongamos que el punto $H$ pie de la perpendicular desde $D$ al plano $ABC$ es la intersección de las alturas de $ABC$. Demostrar que \[(AB+BC+CA)^2\leq 6(AD^2+BD^2+CD^2).\] ¿Para qué tetraedros se alcanza la igualdad en la desigualdad anterior?

En un plano hay cien puntos de modo que tres cualesquiera de ellos no están alineados. Si consideramos todos los posibles triángulos que tienen por vértices esos puntos, demostrar que no puede haber más del 70% de los triángulos que sean acutángulos.