Olimpiadas de Matemáticas
Página de preparación y problemas

Para cada número natural $n$, demostrar que hay un enteros divisible por $2^n$ que solo se escribe con dígitos $1$ y $2$ en el sistema decimal.

Se dibuja una cierta cantidad de círculos de radio $R$ en el interior de un cuadrado de lado $1000R$. Sabiendo que la distancia entre cada par de centros es mayor o igual que $3R$, demostrar que el área total que cubren los círculos es menor o igual que $340000R^2$.

Un polígono $P$ admite un círculo inscrito tangente a todos sus lados y de centro $O$. Si una recta $r$ divide a $P$ en dos polígonos con igual área, demuestra que $r$ pasa por $O$.

Dado un conjunto $S$ de 25 enteros positivos, probar que se pueden siempre encontrar dos de ellos tales que la suma y la diferencia no pertenecen a $S$.

Sean $A$ y $B$ dos vértices adyacentes de un dodecágono. El vértice $A$ se etiqueta con un signo positivo $(+)$, mientras que los otros once vértices se etiquetan con un signo negativo $(-)$. Se puede cambiar el signo de cualesquiera $n$ vértices consecutivos. Suponiendo que $n\in\{3,4,6\}$, demostrar que mediante una sucesión de tales cambios no puede llegarse a que $B$ esté etiquetado negativo y los otros once vértices positivos.

Para cada número natural $n$, demostrar que hay un enteros divisible por $2^n$ que solo se escribe con dígitos $1$ y $2$ en el sistema decimal.

Tenemos tres enteros positivos. Un movimiento consiste en elegir dos de ellos, de los cuales el mayor se sustituye por la diferencia de ambos y el menor se sustituye por su doble. Demostrar que puede realizarse una sucesión de movimientos sobre los números iniciales para conseguir que alguno de los enteros sea cero.

Se dibuja una cierta cantidad de círculos de radio $R$ en el interior de un cuadrado de lado $1000R$. Sabiendo que la distancia entre cada par de centros es mayor o igual que $3R$, demostrar que el área total que cubren los círculos es menor o igual que $340000R^2$.

Sea $n$ un entero positivo y $S$ el conjunto de todas las ternas de enteros entre $1$ y $n$. ¿Cuál es el menor subconjunto $X\subseteq S$ tal que para cada elemento de $S$ podemos encontrar un elemento de $X$ que difiere de él en a lo sumo una componente?

Un polígono $P$ admite un círculo inscrito tangente a todos sus lados y de centro $O$. Si una recta $r$ divide a $P$ en dos polígonos con igual área, demuestra que $r$ pasa por $O$.

Se tiene una hoja de papel grande cuadriculada en cuadraditos de lado unidad, algunos de los cuales están pintados de negro. Demostrar que se pueden recortar una serie de piezas cuadradas disjuntas que contienen a todos los cuadraditos negros se han eliminado y de forma que en cada una de estas piezas el área pintada de negro está entre $\frac15$ y $\frac45$ de su área total.

Tenemos cuatro números reales $a,b,A,B$ tales que $(B-b)^2\lt (A-a)(aB-bA)$. Demostrar que las ecuaciones de segundo grado $x^2+Ax+B=0$ y $x^2+ax+b=0$ tienen todas sus raíces reales y que cada una de ellas tiene una de sus raíces entre las dos raíces de la otra.

Tenemos un sólido en el espacio que cumple que sus proyecciones ortogonales sobre dos planos distintos son círculos. Demostrar que ambos círculos tienen el mismo radio.

Se dibuja una cierta cantidad de círculos de radio $R$ en el interior de un cuadrado de lado $1000R$. Sabiendo que la distancia entre cada par de centros es mayor o igual que $3R$, demostrar que el área total que cubren los círculos es menor o igual que $340000R^2$.

En cada uno de los $n$ vértices de un polígono regular se escribe un entero. Un cambio consiste en elegir cuatro vértices consecutivos con números $a,b,c,d$ (en este orden) tales que $(a-d)(b-c)\lt 0$ e intercambiar los dos números centrales $b$ y $c$. Demostrar que sólo puede realizarse una cantidad finita de cambios consecutivos.

Sea $n$ un entero positivo y $S$ el conjunto de todas las ternas de enteros entre $1$ y $n$. ¿Cuál es el menor subconjunto $X\subseteq S$ tal que para cada elemento de $S$ podemos encontrar un elemento de $X$ que difiere de él en a lo sumo una componente?