Olimpiadas de Matemáticas
Página de preparación y problemas

Se tiene un punto $O$ sobre una recta $g$ y se consideran vectores unitarios $\overrightarrow{OP_1},\overrightarrow{OP_2},\ldots,\overrightarrow{OP_n}$ tales que los puntos $P_1,\ldots,P_n$ están en un plano que contiene a $g$ y en el mismo semiplano respecto de $g$. Demostrar que si $n$ es impar, entonces \[\Bigl|\overrightarrow{OP_1}+\overrightarrow{OP_2}+\ldots,\overrightarrow{OP_n}\Bigr|\geq 1.\]

Determinar si puede existir un conjunto finito $M$ de puntos del espacio, no todos ellos coplanarios, tal que, para cualesquiera dos puntos $A$ y $B$ de $M$, podemos elegir otros dos puntos $C$ y $D$ en $M$ de forma que las rectas $AB$ y $CD$ son paralelas pero no coincidentes.

Sean $a$ y $b$ números reales tales que la ecuación \[x^4+ax^3+bx^2+ax+1=0\] tiene al menos una solución real. Hallar el valor mínimo que puede tener $a^2+b^2$.

Un soldado necesita comprobar la presencia de minas en una región que tiene la forma de un triángulo equilátero. El radio de acción de su detector es igual a la mitad de la altura del triángulo. Si el soldado parte de un vértice del triángulo, ¿cuál sería el camino que debería tomar para cumplir su misión recorriendo la mínima distancia?

Sea $G$ un conjunto de funciones no constantes de la forma $f(x)=ax+b$ (siendo $a$ y $b$ números reales) con las siguientes propiedades:

• Si $f$ y $g$ están en $G$, entonces $g\circ f$ está en $G$.
• Si $f(x)=ax+b$ está en $G$, entonces su inversa $f^{-1}(x)=(x-b)/a$ también está en $G$.
• Para cada $f$ en $G$, hexiste algún número real $x_f$ tal que $f(x_f)=x_f$.

Demostrar que existe un número real $k$ tal que $f(k)=k$ para todo $f$ en $G$.

Sean $a_1,a_2,\ldots,a_n$ números reales positivos y sea $q$ un número real tal que $0\lt q\lt 1$. Encontrar números reales $b_1,b_2,\ldots,b_n$ cumpliendo simultáneamente las siguientes tres condiciones:

• $a_k\lt b_k$ para $k=1,2,\ldots,n$,
• $q\lt\frac{b_{k+1}}{b_k}\lt\frac{1}{q}$ para $k=1,2,\ldots,n-1$,
• $b_1+b_2+\ldots+b_n\lt\frac{1+q}{1-q}(a_1+a_2+\ldots+a_n)$.